圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质,因而为正确理解与掌握其光学性质,就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。
设P()为圆锥曲线(A、B、C不同时为零)上一定点,则在该点处的切线方程为:。(该方程与已知曲线方程本身相比,得到的规律就是通常所说的“替换法则”,可直接用此法则写出切线方程)。
该方程的推导,原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率,进而用点斜式写出切线方程,则在点P处的法线方程为。
1、抛物线的切线、法线性质
经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中。
事实上,设为抛物线上一点,则切线MT的方程可由替换法则,得,即,斜率为,于是得在点M处的法线方程为
令,得法线与x轴的交点N的坐标为,
所以
又焦半径
所以,从而得即
当点M与顶点O重合时,法线为x轴,结论仍成立。
所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
也可以利用点M处的切线方程求出,则,又故,从而得
也可以利用到角公式来证明
抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴”。
2、椭圆的切线、法线性质
经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中
证明也不难,分别求出,然后用到角公式即可获证。
椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。
3、双曲线的切线、法线性质
经过双曲线上一点的切线,平分这一点的两条焦点半径的夹角,如图3中。仍可利用到角公式获证。
这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是散开的,它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。
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