上期《五猴分桃，你能解这个题目吗？(上期)》我们说到张景中院士在文中介绍了五猴分桃问题的两个解法。
本期我们将在后面补充两个解法，它们没有本质的不同，但观点有差别，侧重点也有所不同，仅供读者交流探讨。
解法一
这个解法摘译自哈尔莫斯的一篇通俗文章（全文将发表在丘成桐教授主编的“数学与人文”丛书某一期），译者是中国传媒大学的陈见柯教授。
狄拉克
狄拉克的解法可以称之为特征向量法或不动点法，如下：
假定桃子的个数为x，考虑任一猴子处理完桃子之后，剩下的桃子数量S(x)。 这个公式相对简单，即
我们称整数x是一个解，如果用算子S操作5次以后的数为正整数。换言之，我们要找满足上述条件的最小正整数解。
注意到
我们有
因此
对一切x和y都成立。这意味着如果x和y都是解，则x和y模5的5次方同余（即，x与y的差被5的5次方整除）。反之，若x是一个解，并且y跟x模5的5次方同余，则y也是一个解。
最容易想到的解，应该是对应于特征方程
的特征向量，其解为
因此最小的正整数解为
注意：不变量（不动点、特征值、特征向量）的概念，或许是数学基本元素之一。
（作者：哈尔莫斯(Halmos)）
解法二
回到最开始的方程，那里要求解方程
的正整数解，这是两个未知数x,y的一次方程。我们将它化成标准形式，即得
回想起这方程的如何来的，可以发现，实际上我们选取中间一步得到的方程
来观察更可取。这意味着
是方程的一个特解，要得出方程的所有解，只需要考察对应的齐次方程
由于这两个系数1024与3125互素，所以容易得到，该齐次方程的通解为
其中k为任意的整数。从而原方程的通解为
其中k为任意的整数。特别地，为得到最小正整数解，只需要令k=1，这就得到
（作者：林开亮）
至此，我们这一期的讲解就算结束了，不过我相信聪明的读者还会有更多其他的解法的，可以在QQ群里与我们交流哦！
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图文选自：
好玩的数学(ID:mathfun)
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